AP基礎理論 · 応用数学

シンプソン法

Simpson's Rule

しんぷそんほう

定積分の近似値を求める数値積分法。被積分関数を2次多項式（放物線）で近似して面積を計算する。台形法より高精度で、区間を偶数個に分割して適用する。滑らかな関数に対して高い精度を持つ。

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他の資格での定義

積分区間を偶数個の小区間に分け、隣り合う2つの小区間ごとに関数を2次曲線（放物線）で近似して面積を求める数値積分の方法。直線で近似する台形公式より精度が高く、誤差は刻み幅の4乗に比例して小さくなる。

Past Exams

過去問で 2 回出題（応用情報技術者試験 1・高度試験午前Ⅰ 1）

出典: 独立行政法人情報処理推進機構（IPA）の過去問題。問題文は IPA のサイトの PDF で確認できます。「選択肢」は、問題文ではなく選択肢に出たものです。用語名で照合しているため、関係の薄い問題が含まれることがあります。

方程式f(x)=0の根を求める数値解析手法。f(a)とf(b)の符号が異なる区間[a,b]を二等分し、符号の変わる側の半区間を繰り返し選ぶことで根に収束する。収束は遅いが確実に解を求められる。

方程式f(x)=0の根を求める反復法。現在の近似値xnでの接線がx軸と交わる点をx(n+1) = xn - f(xn)/f'(xn)として次の近似値とする。二分法より収束が速いが、初期値の選択や導関数が0近くになる場合に注意が必要。

真の値と、計算や測定で得られた値との差。コンピュータの数値計算では、有限の桁数で数値を表すために生じる丸め誤差、値のほぼ等しい数どうしの減算で有効桁数が減る桁落ち、絶対値の大きく異なる数の加減算で小さい方の値が結果に反映されない情報落ち、無限に続く計算を途中で打ち切る打切り誤差などがある。

数値を有限桁で表現する際に、表現できない桁を四捨五入や切り捨てなどで処理することで生じる誤差。浮動小数点演算で必ず考慮すべき問題であり、演算の順序によって蓄積量が変わる。

無限級数や反復計算を有限回で打ち切ることによって生じる誤差。計算量と精度のトレードオフがあり、打ち切りの基準（収束判定条件）の設定が重要。

真の値と近似値の差の絶対値。単位が元の値と同じなので大きさを直感的につかめるが、値そのものが大きい場合に誤差が大きく見える。相対的な精度を比べるときは相対誤差を使う。