数値解析

方程式の解や積分の値などを、式の変形で厳密に求める代わりに、数値計算を繰り返して近似的に求める手法と、その理論。ニュートン法、二分法、数値積分、オイラー法などがあり、計算の過程で生じる丸め誤差や打切り誤差の扱いが重要になる。

方程式f(x)＝0の解を、近似値の点で関数の接線を引き、その接線がx軸と交わる点を次の近似値とする操作を繰り返して求める方法。更新式はx(n+1)＝x(n)－f(x(n))÷f′(x(n))で、解の近くから始めれば非常に速く（2次収束で）収束する。導関数が必要で、初期値が悪いと収束しないことがある。

連続な関数f(x)について、f(a)とf(b)の符号が異なる区間[a, b]には解があることを使い、区間を中点で半分に分けて符号が変わる側の区間を残す操作を繰り返して、方程式f(x)＝0の解を求める方法。1回ごとに区間の幅が半分になるので確実に収束するが、ニュートン法に比べて収束は遅い。導関数が不要である。

積分区間を偶数個の小区間に分け、隣り合う2つの小区間ごとに関数を2次曲線（放物線）で近似して面積を求める数値積分の方法。直線で近似する台形公式より精度が高く、誤差は刻み幅の4乗に比例して小さくなる。

関数のグラフと軸に囲まれた部分の面積のように、変化する量を細かく分けて足し合わせた総量を求める操作。微分の逆の演算にあたる。式の変形で解けない場合は、区間を細かく分けて近似する数値積分を使う。

真の値と、計算や測定で得られた値との差。コンピュータの数値計算では、有限の桁で表すために生じる丸め誤差、無限の計算を途中で打ち切る打切り誤差、近い値どうしの引き算で有効桁数が減る桁落ち、大きさが大きく異なる値の加減算で小さい方の値が無視される情報落ちがある。