二分法

方程式f(x)=0の根を求める数値解析手法。f(a)とf(b)の符号が異なる区間[a,b]を二等分し、符号の変わる側の半区間を繰り返し選ぶことで根に収束する。収束は遅いが確実に解を求められる。

方程式f(x)＝0の解を、近似値の点で関数の接線を引き、その接線がx軸と交わる点を次の近似値とする操作を繰り返して求める方法。更新式はx(n+1)＝x(n)－f(x(n))÷f′(x(n))で、解の近くから始めれば非常に速く（2次収束で）収束する。導関数が必要で、初期値が悪いと収束しないことがある。

方程式などの解を式の変形で厳密に求めることが難しい場合に、計算を繰り返して真の解に近い値を数値的に求める方法の総称。二分法やニュートン法のように近似値を少しずつ改善する反復法が代表的で、許容する誤差の大きさで計算を打ち切る。収束の速さ、収束する条件、誤差の評価が手法を選ぶ観点になる。

方程式の解、積分、微分方程式の解など、式の変形だけでは厳密に求めにくい値を、コンピュータの数値計算で近似的に求める方法と、その誤差や収束の性質を研究する分野。二分法・ニュートン法による方程式の解法、シンプソン法などの数値積分、オイラー法などの微分方程式の解法、補間法、連立方程式の掃出法が含まれる。丸め誤差や打切り誤差の扱いが重要である。

常微分方程式dy/dx＝f(x, y)の解を、初期値から刻み幅hずつ数値的に求める最も基本的な方法。現在の点での傾きf(x, y)を使い、y(n+1)＝y(n)＋h・f(x(n), y(n))として次の値を計算することを繰り返す。計算は簡単だが、誤差は刻み幅にほぼ比例して大きく（1次の精度）、より精度の高い方法にルンゲ・クッタ法がある。

定積分の値を、区間を細かく分けて各区間の面積を近似した和として数値的に求める方法。区間内の関数を直線で近似する台形公式、2次曲線（放物線）で近似するシンプソン法などがあり、分割を細かくするほど誤差は小さくなる。式の上で積分できない関数や、測定値でしか与えられない関数の積分に使う。

積分区間を偶数個の小区間に分け、隣り合う2つの小区間ごとに関数を2次曲線（放物線）で近似して面積を求める数値積分の方法。直線で近似する台形公式より精度が高く、誤差は刻み幅の4乗に比例して小さくなる。